Zum Inhalt der Vorlesung:
Die Vorlesung besteht aus den drei aufeinander aufbauenden Teilen
Logik, Mengenlehre und Forcingtechnik:
Im ersten Teil wird eine Einführung in die Prädikatenlogik gegeben (inkl. formale Beweise)
und - nach einem kurzen Abstecher in die Modelltheorie - wird der Gödel'sche Vollständigkeitssatz bewiesen.
Der Gödel'sche Vollständigkeitssatz besagt, dass ein Axiomensystem genau dann widerspruchsfrei ist,
wenn das Axiomensystem ein Modell besitzt. Eine Konsequenz aus dem Vollständigkeitssatz ist, dass ein
Satz genau dann formal aus einem Axiomensystem beweisbar ist, falls der Satz in jedem Modell dieses Axiomensystems
wahr ist. Der Gödel'sche Vollständigkeitssatz ist von zentraler Bedeutung und wird implizit in fast allen
mathematischen Beweisen gebraucht: Um zum Beispiel zu beweisen, dass die Eindeutigkeit des Neutralelements aus den
Gruppenaxiomen folgt, genügt es zu zeigen, dass in jeder Gruppe (d.h. in jedem Modell der Gruppenaxiome) das
Neutralelement eindeutig ist; was dadurch gezeigt wird, dass man die Eindeutigkeit des Neutralelements in einer
beliebigen Gruppe zeigt.
Im zweiten Teil werden die Axiome der Mengenlehre besprochen und parallel dazu wird die Theorie der Ordinal-
und Kardinalzahlen aufgebaut. Insbesondere wird die Kontinuumshypothese behandelt und einige Konsequenzen besprochen.
Im letzten Teil werden verschiedene Unabhängigkeitsresultate bewiesen. Ein Satz heisst "unabhängig"
bezüglich eines Axiomensystem, falls er aus den Axiomen weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Aus dem
Gödel'schen Vollstaendigkeitssatz folgt, dass ein Satz nur dann nicht aus einem Axiomensystem beweisbar ist,
falls es zwei Modelle dieses Axiomensystems gibt, eines, in dem der Satz wahr ist, und eines, in dem der Satz
falsch ist. Zum Beispiel ist das Kommutativgesetz unabhängig von den Gruppenaxiomen, denn es gibt sowohl
kommutative wie auch nichtkommutative Gruppen. Mit Hilfe der Forcingtechnik, welche in den 1960er Jahren von
Paul Cohen entwickelt wurde, werden verschiedene Modelle der Mengenlehre (bzw. der Mathematik) konstruiert
in denen die Kontinuumshypothese nicht gilt. Insbesondere wird gezeigt, dass sich gewisse Eigenschaften der
reellen Zahlen (im Gegensatz z.B. zu den rationalen Zahlen) in Abhängigkeit vom mengentheoretischen
Modell, das wir zugrunde legen, ändern können.